| vopros | Дата: Четверг, 28.12.2017, 13:00 | Сообщение # 1 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 37
Статус: Оффлайн
| Найдите значения параметра `a`, при которых многочлен имеет ровно три различных корня:
а) `3(x + 5)(x- 7)(x + 1)(x - a)`;
б) `(ax^2 + 5x + 1)(x^2 - x - 2)`;
в) `(x^2 - (a + 1)x + a)(x^2 - x - a)`;
г) `(3x^2 + x - a)(2x + a)`.
Сообщение отредактировал vopros - Четверг, 28.12.2017, 13:00 |
| |
| |
| Администратор | Дата: Четверг, 28.12.2017, 13:16 | Сообщение # 2 |
Группа: Пользователи
Сообщений: 35
Статус: Оффлайн
| а) `x+5=0`;
`x=-5`.
`x-7=0`;
`x=7`.
`x+1=0`;
`x=-1`.
`x-a=0`;
`x=a`.
Многочлен будет иметь три корня, если параметр `a` будет совпадать с другими корнями. Таким образом, ответ следующий `-5; -1; 7`.
|
| |
| |
| Администратор | Дата: Четверг, 28.12.2017, 14:49 | Сообщение # 3 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 35
Статус: Оффлайн
| б) `x^2-x-2=0`;
`D=1-4*(-2)=9`;
`x=(1+-3)/2`;
`x_1=-1`;
`x_2=2`.
Если `a=0`, то `5x+1=0` `=>` `x=-1/5`. Отсюда, многочлен имеет три различных корня.
Если `a!=0`, то
`D=25-4a`;
Если `D=0`, то `a=6,25`, `x=-0,4`. Отсюда, многочлен имеет три различных корня.
Если `D>0`, то `a<6,25`, тогда `x_(1,2)=(-5+-sqrt(25-4a))/(2a)`.
Значит, один из корней должен совпадать с числами `-1; 2`.
`(-5-sqrt(25-4a))/(2a)=-1`;
`sqrt(25-4a)=2a-5`;
`4a^2-16a=0`;
`a=0` или `a=4`. (`a=0` не подходит).
Проверка: если `a=4`, то `x_1=-1; x_2=-1/4`.
`(-5-sqrt(25-4a))/(2a)=2`;
`sqrt(25-4a)=-4a-5`;
`25-4a=(-4a-5)^2`;
`16a^2+44a=0`;
`a=0` или `a=-11/4`. (`a=0` не подходит).
Проверка: если `a=-11/4`, то `x_1=2; x_2=-2/11`.
`(-5+sqrt(25-4a))/(2a)=-1`;
`sqrt(25-4a)=-2a+5`;
`25-4a=(2a+5)^2`;
`4a^2-16a=0`;
`a=0` или `a=4`. (данный случай уже был).
`(-5+sqrt(25-4a))/(2a)=2`;
`sqrt(25-4a)=4a+5`;
`25-4a=(4a+5)^2`;
`4a^2-16a=0`;
`16a^2+44a=0`;
`a=0` или `a=-11/4`. (данный случай уже был).
Ответ: `a=0; 6,25; 4; -2,75`.
|
| |
| |
| Администратор | Дата: Пятница, 29.12.2017, 16:14 | Сообщение # 4 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 35
Статус: Оффлайн
| в) `x^2-(a+1)x+a=0`;
`D=(a+1)^2-4a=` `(a-1)^2`;
`x_1=a; x_2=1`;
`x^2-x-a=0`;
`x_(1,2)=1/2+-1/2 sqrt(1+4a)`.
Если `a=1`, то `x_1=1; x_2=1/2+1/2 sqrt(5);` `x_3=1/2-1/2 sqrt(5).`
Если `a=-1/4`, то `x_1=1/2; x_2=1;` `x_3=-1/4.`
Если `1/2+1/2 sqrt(1+4a)=1`, то
`sqrt(1+4a)=1` `=>` `1+4a => a=0`.
Проверка: `a=0`, то `x_1=1; x_2=0`.
Если `1/2-1/2 sqrt(1+4a)=1`, то
`sqrt(1+4a)=-1` решений нет.
Если `1/2+1/2 sqrt(1+4a)=a`, то
`sqrt(1+4a)=-1+2a` ;
`1+4a=(-1+2a)^2`;
`4a^2-8a=0`;
`a=0; a=2`.
Проверка: `a=2`, то `x_1=2; x_2=1; x_3=-1`.
Если `1/2-1/2 sqrt(1+4a)=a`, то
`sqrt(1+4a)=1-2a` ;
`1+4a=(1-2a)^2`;
`4a^2-8a=0`;
`a=0; a=2`. (уже было)
Таким образом, ответ следующий: `a=1; -1/4; 2`.
|
| |
| |
| Администратор | Дата: Пятница, 29.12.2017, 16:21 | Сообщение # 5 |
|
Группа: Пользователи
Сообщений: 35
Статус: Оффлайн
| г) `2x+a=0`;
`x=-a/2`.
`3x^2+x-a=0`;
`x_(1,2)=-1/6+-1/6 sqrt(1+12a)`.
`1+12a > 0 => a > -1/12`;
`-1/6+1/6 sqrt(1+12a)=-a/2`;
`9a^2-18a=0`;
`a=0; a=2`.
Проверка: если `a=0`, то `x_1=-1/3; x_2=0`, если `a=2`, то `x_1=-1; x_2=2/3`.
`-1/6-1/6 sqrt(1+12a)=-a/2`;
`9a^2-18a=0`;
`a=0; a=2`.
Значит `a=-1/12; a!=0; a!=2`.
Таким образом, ответ следующий `a in (-1/12; 0) cup (0; 2) cup (2;+oo)`.
|
| |
| |
