Главная страница » Решенные примеры » Профиль » Примеры задания 13 (профиль)

Пример №88 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс


а) Решите уравнение `2((x-2)^2/4+25/(x-2)^2)=(x-2)/2-5/(x-2)+16`.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[3; 8]`.
Источник:
ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №12) (Купить книгу)

Решение №1 (электронный вид):

а) `2((x-2)^2/4+25/(x-2)^2)=(x-2)/2-5/(x-2)+16`;

На ноль делить нельзя, поэтому ОДЗ: `x!=2`.

Пусть `t=(x-2)/2-5/(x-2)`.

Возведем `t` в квадрат, применив формулу квадрата разности `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`:

`t^2=(x-2)^2/4-5+25/(x-2)^2`;

`t^2+5=(x-2)^2/4+25/(x-2)^2`.

Получилось то же выражение, что в левой части уравнения. Сделаем замену:

`2(t^2+5)=t+16`;

`2t^2+10-t-16=0`;

`2t^2-t-6=0`

`D=b^2-4ac=` `1-4*2*(-6)=49`;

`t=(1+7)/4=2`;

`t=(1-7)/4=-1,5`.

При `t=2`:

`(x-2)/2-5/(x-2)=2`;

Найдем общий знаменатель:

`(x-2)(x-2)-5*2-2*2(x-2)=0`;

`x^2-4x+4-10-4x+8=0`;

`x^2-8x+2=0`;

`D=64-4*2=56`;

`x=(8+-sqrt(56))/2=` `4+-sqrt(14)`.

При `t=-1,5`:

`(x-2)/2-5/(x-2)=-1,5`;

Найдем общий знаменатель:

`(x-2)(x-2)-5*2-1,5*2(x-2)=0`;

`x^2-x-12=0`;

`D=1-4*(-12)=49`;

`x=(1+7)/2=4`;

`x=(1-7)/2=-3`.

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку `[3; 8]`.

Сразу видно, что `-3` не входит в данный отрезок, а `4` входит.

`4-sqrt(14)=` `sqrt(16)-sqrt(14)=` `sqrt(2)`;

`4+sqrt(14)=` `sqrt(16)+sqrt(14)=` `sqrt(30)`;

`3=sqrt(9)`;

`8=sqrt(64)`.

Теперь видно, что `4-sqrt(14) < 3 < 4+sqrt(14) < 8`. Значит, данному отрезку принадлежит только `4+sqrt(14)`.

Получились следующие корни: `4; 4+sqrt(14)`.

Решение №2 (скан):

$IMAGE2$
Ответ: а) `4+-sqrt(14); 4; -3`;
б) `4; 4+sqrt(14)`.
Категория: Примеры задания 13 (профиль) | Добавил: Администратор
Просмотров: 1758 | | Рейтинг: 5.0/2
Всего комментариев: 0
avatar