Главная страница » Решенные примеры » Профиль » Примеры задания 13 (профиль)

Пример №89 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс


а) Решите уравнение `(x-1)^2/8+8/(x-1)^2=7((x-1)/4-2/(x-1))-1`.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-2; 3]`.
Источник:
ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №13) (Купить книгу)

Решение №1 (электронный вид):

а) `(x-1)^2/8+8/(x-1)^2=7((x-1)/4-2/(x-1))-1`;

На ноль делить нельзя, поэтому ОДЗ: `x!=1`.

Пусть `t=(x-1)/4-2/(x-1)`.

Возведем `t` в квадрат, применив формулу квадрата разности `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`:

`t^2=(x-1)^2/16-1+4/(x-1)^2`;

`t^2+1=(x-1)^2/16+4/(x-1)^2`.

Умножим обе части уравнения на `2`:

`2t^2+2=(x-1)^2/8+8/(x-1)^2`.

Получилось то же выражение, что в левой части уравнения. Сделаем замену:

`2t^2+2=7t-1`;

`2t^2+2-7t+1=0`;

`2t^2-7t+3=0`

`D=b^2-4ac=` `49-4*2*3=25`;

`t=(7+5)/4=3`;

`t=(7-5)/4=0,5`.

При `t=3`:

`(x-1)/4-2/(x-1)=3`;

Найдем общий знаменатель:

`(x-1)(x-1)-2*4-3*4*(x-1)=0`;

`x^2-2x+1-8-12x+12=0=0`;

`x^2-14x+5=0`;

`D=196-4*5=176`;

`x=(14+-sqrt(176))/2=` `7+-sqrt(44)=` `7+-2sqrt(11)`.

При `t=0,5`:

`(x-1)/4-2/(x-1)=0,5`;

Найдем общий знаменатель:

`(x-1)(x-1)-2*4-0,5*4*(x-1)=0`;

`x^2-4x-5=0`;

`D=16-4*(-5)=36`;

`x=(4+6)/2=5`;

`x=(4-6)/2=-1`.

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку `[-2; 3]`.

Сразу видно, что `5` не входит в данный отрезок, а `-1` входит.

`7-2sqrt(11)=` `sqrt(49)-sqrt(44)=` `sqrt(5)`;

`7+2sqrt(11)=` `sqrt(49)+sqrt(44)=` `sqrt(93)`;

`3=sqrt(9)`;

`-2=-sqrt(4)`.

Теперь видно, что `-2 < 7-2sqrt(11) < 3 < 7+2sqrt(11)`. Значит, данному отрезку принадлежит только `7-2sqrt(11)`.

Получились следующие корни: `-4; 7-2sqrt(11)`.

Решение №2 (скан):

$IMAGE2$
Ответ: а) `7+-2sqrt(11); 5; -1`;
б) `-4; 7-2sqrt(11)`.
Категория: Примеры задания 13 (профиль) | Добавил: Администратор
Просмотров: 1559 | | Рейтинг: 4.0/3
Всего комментариев: 0
avatar