Главная страница » Решенные примеры » Профиль » Примеры задания 13 (профиль)

Пример №90 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс


а) Решите уравнение `(x+3)^2/5+20/(x+3)^2=8((x+3)/5-2/(x+3))+1`.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку `[-6; -4]`.
Источник:
ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №14) (Купить книгу)

Решение №1 (электронный вид):

а) `(x+3)^2/5+20/(x+3)^2=8((x+3)/5-2/(x+3))+1`;

На ноль делить нельзя, поэтому ОДЗ: `x!=-3`.

Пусть `t=(x+3)/5-2/(x+3)`.

Возведем `t` в квадрат, применив формулу квадрата разности `(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`:

`t^2=(x+3)^2/25-0,8+4/(x+3)^2`;

`t^2+0,8=(x+3)^2/25+4/(x+3)^2`.

Умножим обе части уравнения на `5`:

`5t^2+4=(x+3)^2/5+20/(x+3)^2`.

Получилось то же выражение, что в левой части уравнения. Сделаем замену:

`5t^2+4=8t+1`;

`5t^2+4-8t-1=0`;

`5t^2-8t+3=0`

`D=b^2-4ac=` `64-4*5*3=4`;

`t=(8+2)/10=1`;

`t=(8-2)/10=0,6`.

При `t=1`:

`(x+3)/5-2/(x+3)=1`;

Найдем общий знаменатель:

`(x+3)(x+3)-2*5-1*5*(x+3)=0`;

`x^2+6x+9-10-5x-15=0=0`;

`x^2+x-16=0`;

`D=1-4*(-16)=65`;

`x=(-1+-sqrt(65))/2`.

При `t=0,6`:

`(x+3)/5-2/(x+3)=0,6`;

Найдем общий знаменатель:

`(x+3)(x+3)-2*5-0,6*5*(x+3)=0`;

`x^2+3x-10=0`;

`D=9-4*(-10)=49`;

`x=(-3+7)/2=2`;

`x=(-3-7)/2=-5`.

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку `[-6; -4]`.

Сразу видно, что `2` не входит в данный отрезок, а `-5` входит.

`(-1-sqrt(65))/2=` `-sqrt(1/4)-sqrt(65/4)=` `-sqrt(66/4)=` `-sqrt(16,5)`;

`(-1+sqrt(65))/2=` `-sqrt(1/4)+sqrt(65/4)=` `sqrt(64/4)=` `sqrt(16)`;

`-6=-sqrt(36)`;

`-4=-sqrt(16)`.

Теперь видно, что `-6 < (-1-sqrt(65))/2 < -4 < (-1+sqrt(65))/2`. Значит, данному отрезку принадлежит только `(-1-sqrt(65))/2`.

Получились следующие корни: `-5; (-1-sqrt(65))/2`.

Решение №2 (скан):

$IMAGE2$
Ответ: а) `(-1+-sqrt(65))/2; -5; 2`;
б) `-5; (-1-sqrt(65))/2`.
Категория: Примеры задания 13 (профиль) | Добавил: Администратор
Просмотров: 2803 | | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
avatar