Главная страница » Решенные примеры » Профиль » Примеры задания 17 (профиль)

Пример №27 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс


`15` января планируется взять кредит в банке на `5` месяцев. Условия его возврата таковы:
– `1`–го числа каждого месяца долг возрастает на `5%` по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со `2`–го по `14`–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– `15`–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на `15`–е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Источник:
ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №4) (Купить книгу)

Решение №1:

Пусть `A_0` - сумма кредита, а `A_n` - сумма долга через `n` месяцев. Тогда получается, что через месяц сумма долга будет равной `A_1=A_0*1,05-x_1` (умножаем на `1,05` потому что каждый месяц долг возрастает на `5%`), где `x_1` - выплата долга за первый месяц.

Посчитаем сумму долга в конце второго месяца:

`A_2=A_1*1,05-x_2`, где `x_2` - выплата долга за второй месяц.

Аналогично будут следующие выплаты. Т.к. кредит планируется брать на `5` месяцев, то в пятый месяц долг будет полностью погашен (`A_5=0`) и сумма выплаты будет следующей: `A_5=A_4*1,05-x_5`.

В условии сказано, что сумма долга уменьшается каждый месяц на одну и ту же сумму, значит, сумма долга уменьшается по арифметической прогрессии.

Общая сумма кредита, которую выплатят `x_1+x_2+...+x_5`.

Нам необходимо найти процент выплат от общей суммы кредита `(x_1+x_2+...+5_x)/A_0 *100%`.

Найдем общую сумму выплат. Для этого выразим `x_1`, `x_2` и т.д. из суммы долга: `x_1+x_2+...+x_5=` `1,05(A_0+...+A_4)-(A_1+...+A_5)`.

Через формулу суммы арифметической прогрессии `S_n=((a_1+a_n))/2 *n` можно записать `A_0+...+A_4` в виде `(A_0+A_4)/2 *5`. Но т.к. у нас `A_5=0`, то можно к этому выражению прибавить его, т.к. сумма от этого не изменится. Получится следующее выражение `(A_0+A_5)/2 *6`.

`1,05(A_0+...+A_4)-(A_1+...+A_5)=` `1,05*(A_0+A_5)/2 *6-(A_1+A_5)/2 *5=` `0,525*6A_0-2,5A_1`. `A_1` по формуле `n` - го члена члена арифметической прогрессии можно записать в виде `A_1=A_0+d`.

Найдем `d` по формуле `n` - го члена арифметической прогрессии `A_5=A_0+5d`, т.к. `A_5=0`, то `A_0=-5d`. Отсюда `d=-(A_0)/5`.

Подставим все известные значения и посчитаем:

`3,15A_0-2,5(A_0+d)=` `3,15A_0-2,5A_0-2,5d=` `0,65A_0-2,5*(-(A_0)/5)=` `0,65A_0+0,5A_0=` `1,15A_0`.

Подставим известные значения в формулу для нахождения процента выплат от общей суммы кредита: `(1,15A_0)/(A_0) *100%=` `115%`.

Получается, что банку нужно вернуть `115%` от суммы кредита.

Решение №2:

Пусть сумма кредита равна `S`. По условию, долг перед банком по состоянию на `15` число должен уменьшаться до нуля равномерно:

`S`; `(4S)/5`; `(3S)/5`; `(2S)/5`; `S/5`; `0`.

Первого числа каждого месяца долг возрастает на `5%`, значит, последовательность размеров долга по состоянию на `1` число такова:

`1,05S`; `1,05*(4S)/5`; `1,05*(3S)/5`; `1,05*(2S)/5`; `1,05*S/5`.

Значит, выплаты должны быть следующими:

`0,05S+S/5`; `(4*0,05S)/5+S/5`; `(3*0,05S)/5+S/5`; `(2*0,05S)/5+S/5`; `(0,05S)/5+S/5`.

Всего следует выплатить:

`S+S*0,05(1+4/5+...+1/5)=` `S(1+(6*0,05)/2)=` `1,15S`.

Получается, что банку нужно вернуть `115%` от суммы кредита.

Ответ: `115%`.
Категория: Примеры задания 17 (профиль) | Добавил: Администратор
Просмотров: 5856 | | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
avatar