Главная страница » Решенные примеры » Профиль » Примеры задания 12 (профиль)

Пример №24 из задания 12 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс


Найдите наименьшее значение функции `e^(2x)-14e^x+5` на отрезке `[-1; 2]`.
Источник:
ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 20 вариантов тестов. Тематическая рабочая тетрадь. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-296 с.(вариант №14) (Купить книгу)

Решение:

Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции, применив следующее правило из таблицы производных `(e^x)'=e^x`:

`y'=2e^(2x)-14e^x`;

`2e^(2x)-14e^x=0`;

`e^x(2e^x-14)=0`;

Выражение равно нулю, когда `e^x=0` или `2e^x-14=0`.

`e^x=0` - решений нет.

`2e^x-14=0`;

`e^x=7`;

`x=ln7` - входит в заданный промежуток, т.к. натуральный логарифм `e` примерно равен `2,72`. `log_e 2,72 < log_e 7 < log_e 7,4` (`1 < log_e 7 < log_e 2`).

Найдем значение функции на концах заданного отрезка и в точке `x=ln7`.

`y(ln7)=e^(2*ln7)-14e^(ln7)+5=` `e^(ln7^2)-14e^(ln7)+5=` `7^2-14*7+5=` `-44`;

`y(-1)=e^(2*(-1))-14e^(-1)+5=` `1/(e^(2))-14/e+5`;

`y(2)=e^(2*2)-14e^2+5=` `e^4-14e^2+5`.

Видно, что наименьшее значение функции равно `-44`.

Ответ: `-18`.
Категория: Примеры задания 12 (профиль) | Добавил: Администратор
Просмотров: 475 | | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
avatar