ГП Всероссийский научно-исследовательский институт
физико-технических и радиотехнических измерений

(ГП ВНИИФТРИ)

УТВЕРВДАЮ

Зам. Директора

ГП "ВНИИФТРИ"

Ю.И. Брегадзе

________________

РЕКОМЕНДАЦИЯ Государственная система обеспечения единства измерений

Шкалы измерений. Основные положения. Термины и определения

МИ 2365-96

ГСИ. Шкалы измерений. Основные положения.

Термины и определения

МИ 2365-96

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 2. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ

В настоящей рекомендации приведены основные положения теории шкал измерений, а также соответствующие термины и определения необходимые для правильного понимания и практического применения шкал измерений метрологами и приборостроителями. Термин "шкала" в метрологической практике имеет, по крайней мере, два различных значения. Во-первых, шкалой или точнее шкалой измерений называют принятый по соглашению порядок определения и обозначения всевозможных проявлений (значений) конкретного свойства (величины) Во-вторых, шкалой называют отсчетные устройства аналоговых средств измерений, В настоящей рекомендации термин "шкала" используется только в первом из приведенных выше значений. В первом разделе настоящей рекомендации даны основные положения теории шкал измерений. Второй раздел содержит термины по метрологии, определения которых учитывают положения теории и опыта практического применения шкал измерений.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Измерению подлежат различные проявления свойств тел, веществ, явлений, процессов. Некоторые свойства при этом проявляются количественно (длина, масса, температура и т.п.), а другие - качественно (например, цвет, т.к. не имеет смысла выражение типа "красный цвет больше (меньше) синего"). Многообразие (количественное или качественное) проявлений любого свойства образуют множества, отображение элементов которых на упорядоченные множества чисел или, в более общем случае, на систему условных знаков образуют шкалы измерения этих свойств. Такими системами знаков являются, например, множество обозначений (названий) цветов, совокупность классификационных символов или понятий, множество баллов оценки состояний объекта, множество действительных чисел и т.д. Элементы множеств проявления свойств находятся в определенных логических соотношениях между собой. Такими соотношениями могут быть "эквивалентность" (равенство) или "сходство" (близость) этих элементов, их количественная различимость ("больше", "меньше"), допустимость выполнения определенных математических операций сложения, вычитания, умножения деления с элементами множеств и т.д. Эти особенности элементов множеств проявления свойств определяют типы (особенности соответствующих им шкал измерений). В соответствии с логической структурой проявления свойств в теории измерений различают пять основных типов шкал измерений: наименований, порядка, разностей (интервалов), отношений и абсолютные шкалы. Каждый тип шкалы обладает определенными признаками, основные из которых рассматриваются ниже. ШКАЛЫ НАИМЕНОВАНИЙ отражают качественные свойства. Их элементы характеризуются только соотношениями эквивалентности (равенства) и сходства конкретных качественных проявлений свойств. Примерами таких шкал является шкала классификации (оценки) цвета объектов по наименованиям (красный, оранжевый, желтый, зеленый и т.д.), опирающаяся на стандартизованные атласы цветов, систематизированные по сходству. В таких атласах, выполняющих роль своеобразных эталонов, цвета могут обозначаться условными номерами (координатами цветами). Измерения в шкале цветов выполняются путем сравнения при определенном освещении образцов цвета из атласа с цветом исследуемого объекта и установления эквивалентности их цветов. В шкалах наименований нельзя ввести понятия единицы измерения; в них отсутствует и нулевой элемент. Шкалы наименований, по существу, качественны; однако возможны некоторые статистические операции при обработке результатов измерений в этих шкалах, например, можно найти модальный или наиболее многочисленный класс эквивалентности. ШКАЛЫ ПОРЯДКА - описывают свойства, для которых имеют смысл не только соотношения эквивалентности, но и соотношения порядка по возрастанию или убыванию количественного проявления свойства. Характерным примером шкал порядка являются существующие шкалы чисел твердости тел, шкалы баллов землетрясений, шкалы баллов ветра, шкала оценки событий на АЭС и т.п. Узкоспециализированные шкалы порядка широко применяются в методах испытаний различной продукции. В этих шкалах также нет возможности ввести единицы измерений из-за того, что они не только принципиально нелинейны, но и вид нелинейности может быть различен и неизвестен на разных ее участках. Результаты измерений в шкалах твердости, например, выражаются в числах твердости по Бринеллю, Виккерсу, Роквеллу, Шору, а не в единицах измерений. Шкалы порядка допускают монотонные преобразования, в них может быть или отсутствовать нулевой элемент. ШКАЛЫ РАЗНОСТЕЙ (ИНТЕРВАЛОВ) - отличаются от шкал порядка тем, что для описываемых ими свойств имеют смысл не только соотношения эквивалентности и порядка, но и суммирования интервалов (разностей) между различными количественными проявлениями свойств. Характерный пример - шкала интервалов времени. Интервалы времени (например, периоды работы, периоды учебы) можно складывать и вычитать, но складывать даты каких-либо событий бессмысленно. Другой пример, шкала длин (расстояний) - пространственных интервалов определяется путем совмещения нуля линейки с одной точкой, а отсчет делается у другой точки. К этому типу шкал относятся и шкалы температур по Цельсию, Фаренгейту, Реомюру. Шкалы разностей имеют условные (принятые по соглашению) единицы измерений и нули, опирающиеся на какие-либо реперы. В этих шкалах допустимы линейные преобразования, в них применимы процедуры для отыскания математического ожидания, стандартного отклонения, коэффициента ассиметрии и смещенных моментов. ШКАЛЫ ОТНОШЕНИЙ . К множеству количественных проявлений в этих шкалах применимы соотношения эквивалентности и порядка - операции вычитания и умножения, (шкалы отношений 1-го рода - пропорциональные шкалы), а во многих случаях и суммирования (шкалы отношений 2-го рода - аддитивные шкалы). В шкалах отношений существуют условные (принятые по соглашению) единицы и естественные нули. Примерами шкал отношений являются шкалы массы (2-го рода), термодинамическая температурная шкала (1-го рода). Массы любых объектов можно суммировать, но суммировать температуры разных тел нет смысла, хотя можно судить о разности и, отношении их термодинамических температур. Шкалы отношений широко используются в физике и технике, в них допустимы все арифметические и статистические операции. АБСОЛЮТНЫЕ ШКАЛЫ - обладают всеми признаками шкал отношений, но дополнительно в них существует естественное однозначное определение единицы измерений. Такие шкалы используются для измерений относительных величии (отношений одноименных величин: коэффициентов усиления, ослабления, КПД, коэффициентов отражений и поглощений, амплитудной модуляции и т.д.). ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ШКАЛЫ - логарифмическое преобразование шкал, часто применяемое на практике, приводит к изменению типа шкал. Практическое распространение получили логарифмические шкалы на основе применения систем десятичных и натуральных логарифмов, а также логарифмов с основанием два. Логарифм есть число безразмерное, поэтому перед логарифмированием преобразуемая размерная величина в начале обращается в безразмерную путем ее деления на принятое по соглашению произвольное (опорное) значение той же величины, после чего выполняется операция логарифмирования. В зависимости от типа шкалы, подвергнутой логарифмическому преобразованию, логарифмические шкалы могут быть двух видов. При логарифмическом преобразовании абсолютных шкал получаются абсолютные логарифмические шкалы, называемые иногда логарифмическими шкалами с плавающим нулем, т.к. в них не фиксируется опорное значение. Примерами таких шкал являются шкалы усиления (ослабления) сигнала в дБ. Для значений величин в абсолютных логарифмических шкалах допустимы операции сложения и вычитания. При логарифмическом преобразовании шкал отношений и интервалов получается логарифмическая шкала интервалов с фиксированным нулем, соответствующим принятому опорному значению преобразуемой шкалы. В радиотехнике в качестве опорного чаще всего принимают значения 1 мВт, 1 В, 1 мкВ; в акустике - 20 мкПа и др. К этим шкалам в общем случае нельзя прямо применять ни одно арифметическое действие; сложение и вычитание величин, выраженных в значениях таких шкал, должно проводиться путем нахождения их антилогарифмов, выполнения необходимых арифметических операций и повторного логарифмирования результата. БИОФИЗИЧЕСКИЕ ШКАЛЫ . В метрологической практике существует ряд шкал, которыми описываются реакции биологических объектов, прежде всего человека, на воздействующие на них физические факторы. К ним относятся шкалы световых и цветовых измерений, шкалы восприятия звуков, шкалы эквивалентных доз ионизирующих излучений и др. Будем называть такие шкалы биофизическими. Биофизическая шкала - шкала измерений свойств физического фактора (стимула), модифицированная таким образом, чтобы по результатам измерений этих свойств можно было прогнозировать уровень или характер реакции биологического объекта на действие этого фактора. Такие шкалы строятся по моделям, так модифицирующим (трансформирующим) результаты измерений свойства стимула, чтобы было однозначное соответствие между результатом измерений и характеристикой биологической реакции (гомоморфное отображение множества стимулов на множество реакций). При этом некоторому подклассу множества стимулов могут соответствовать эквивалентные реакции. Такая модифицированная шкала стимулов, естественно, по логической структуре приближается к структуре шкалы реакций и приобретает некоторую прогностическую ценность. Однако, как правило, биофизическая шкала стимулов и шкала соответствующих реакций являются шкалами разных типов, поэтому на прогностические суждения о реакциях, вызываемых стимулами, нельзя прямо переносить логические соотношения шкалы стимулов. Так, например, шкала яркостей с точки зрения стимулов является неограниченной аддитивной шкалой отношений, а с точки зрения восприятия человеком - шкалой порядка в ограниченном снизу и сверху диапазоне значений стимулов. Большинство свойств описывается одномерными шкалами, однако имеются свойства, описываемые многомерными шкалами - трехмерные шкалы цвета в колориметрии, двухмерные шкалы электрических импедансов и др. Основные признаки и особенности типов шкал систематизированы в таблице 1. Практическая реализация шкал измерений достигается путем стандартизации как самих шкал и единиц измерений, так и, в необходимых случаях, способов и условий (спецификаций) их однозначного воспроизведения. Шкалы наименований и порядка могут реализовываться и без эталонов (шкала-классификация Линнея, шкала запахов, шкала Бофорта), но если создание эталонов необходимо, то они воспроизводят весь применяемый на практике участок шкалы (пример - эталоны твердости). Внесение любых изменений в спецификацию, определяющую шкалу наименований или порядка, практически означает введение новой шкалы. Шкалы разностей и отношений (метрические шкалы), соответствующие SI , как правило воспроизводятся эталонами. Эталоны этих шкал измерений могут воспроизводить одну точку шкалы (эталон массы), некоторый участок шкалы (эталон длины) или практически всю шкалу (эталон времени). В метрологических НД обычно говорится только об установлении и воспроизведении единиц измерений. На деле даже для величин, соответствующих основным единицам SI (секунда, кельвин, кандела и др.), эталоны кроме единиц хранят и воспроизводят шкалы (атомного и астрономического времени, температурную МТШ-90 и т.д.). При любом варианте построения эталонов поверочными схемами предусматривается воспроизведение всех необходимых для практики участков шкал. Абсолютные шкалы могут опираться на эталоны, воспроизводящие любые их участки (как эталоны метрических шкал), но могут воспроизводится и без них (КПД, коэффициент усиления). Особенности воспроизведения (реализации) шкал систематизированы в таблице 2.

Таблица 1

Основные признаки классификации шкал измерений

Признак типа шкалы измерений	Тип шкалы измерений
	Наименований	Порядка	Разностей (интервалов)	Отношений		Абсолютные
				1-го рода	2-го рода
Допустимые логические и математичес­кие соотношения между проявлениями свойств	Эквивалент­ность	Эквивалент­ность, порядок	Эквивалент­ность, порядок, суммирование интервалов	Эквивалент­ность, порядок, пропорцио­нальность		Эквивалент­ность, порядок, суммирование
Наличие нуля	Не имеет смысла	Необязательно			Имеется естественное определение нуля	Имеется естественное определение нуля
Наличие единицы измерения	Не имеет смысла	Не имеет смысла	Устанавлива­ется по соглашению	Устанавлива­ется по соглашению	Устанавлива­ется по соглашению	Имеется естественный критерий установления размера единиц
Многомерность	Возможна	Возможна	Возможна	Возможна	Возможна	Возможна
Допустимые преобразования	и зоморфное отображение		м онотонные преобразова­ния	Умножение на число	Умножение на число	о тсутствуют

Таблица 2

Особенности реализации шкал измерений

Особенности реализации шкал	Тип шкалы измерений
	Наименований	Порядка	Разностей	Отношений	Абсолютные
Введение единиц измерений		Принципиально невозможно ввести единицы измерений		Есть возможность ввести единицы изменений	Есть возможность ввести единицы изменений
Необходимость эталона реализуемой шкалы		Шкалы могут реализовываться без специальных эталонов		Большинство шкал реализуются только посредством специальных эталонов	Шкалы могут быть реализованы без эталонов
Что должен воспроизводить эталон при его наличии		Весь используемый участок шкалы	Какую либо часть или точку шкалы и условный нуль	Какую либо часть или точку шкалы	Обязательные требования отсутствуют

2. ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Метрология Наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. Законодательная метрология Раздел метрологии, включающий взаимосвязанные законодательные и научно-технические вопросы, нуждающиеся в регламентации со стороны государства и (или) мирового сообщества, для обеспечения единства измерений. Теоретическая метрология Раздел метрологии, в котором изучаются и разрабатываются ее теоретические основы (теория измерений, теория шкал измерений, проблемы установления систем единиц измерений, вопросы использования в метрологии фундаментальных констант и др.). Практическая (прикладная) метрология Раздел метрологии, в котором изучаются и разрабатываются вопросы практического применения положений теоретической и законодательной метрологии. Единство измерений Состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах или шкалах измерений, а неопределенности (погрешности) результатов измерений не выходят за установленные границы (с заданной вероятностью). Примечание. Данное определение понятия "единства измерений" не противоречит Закону "Об обеспечении единстве измерений" (статья 1), но распространяет его на шкалы наименований и порядка (см. "шкала измерений"). Шкала измерений (шкала) Отображение множества различных проявлений качественного или количественного свойства на принятое по соглашению упорядоченное множество чисел или другую систему логически связанных знаков (обозначений). Примечания. 1. Понятие шкала измерений (кратко - шкала) не следует отождествлять с отсчетным устройством (шкалой) средства измерений. 2. Различают пять типов шкал: наименований, порядка, разностей (интервалов), отношений и абсолютные. 3. Примерами систем знаков, образующих шкалы измерений, являются множество баллов оценки свойств объектов, множество обозначений (названий) цвета объекта, множество названий состояния объекта, совокупность классификационных символов или понятий и т.п. 4. Шкалы разностей и отношений объединяют термином "метрические шкалы". 5. Различают одномерные и многомерные шкалы измерений. Шкала величины Шкала измерений количественного свойства. Тип шкалы Классификационный признак данной шкалы измерений, характеризующий совокупность присущих ей логических соотношений. Шкала наименований Шкала измерений качественного свойства, характеризующаяся только соотношением эквивалентности различных проявлений этого свойства. Примечания. 1. Множество проявлений (реализации) качественного свойства может быть упорядочено по признаку близости (сходства) и (или) по признаку возможных количественных различий в некоторых подмножествах проявления свойства. Например, шкалы измерений цвета опираются на трехкоординатную модель цветового пространства, упорядоченную по цветовым различиям (качественный признак) и яркости (количественный признак). 2. Отличительные признаки шкал наименований: неприменимость в них понятий: нуля, единицы измерений, размерности; допустимость только изоморфных или гомоморфных преобразований; возможность реализации как с помощью эталонов, так и без них; недопустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы. Чаще всего шкалы наименований определяются рядом "классов эквивалентности". Шкала порядка Шкала количественного свойства, характеризующаяся соотношениями эквивалентности и порядка по возрастанию (убыванию) различных проявлений свойства. Примечание. Отличительные признаки шкал порядка: неприменимость в них понятий "единица измерений" и "размерность", необязательность наличия нуля, допустимость любых монотонных преобразований, возможность реализации как с помощью эталонов, так и без них, недопустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы. Шкала измерений количественного свойства, характеризующаяся соотношениями эквивалентности, порядка, суммирования интервалов различных, проявлений свойства. Примечание. Отличительные признаки шкал разностей: наличие устанавливаемых по соглашению нуля и единицы измерений, применимость понятия "размерность", допустимость линейных преобразований, реализация только посредством эталонов, допустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы. Шкала отношений Шкала измерений количественного свойства, характеризующаяся соотношениями эквивалентности, порядка, пропорциональности (допускающими в ряде случаев операцию суммирования) различных проявлений свойства. Примечания. 1. Отличительные признаки шкал отношений: наличие естественного нуля и устанавливаемой по соглашению единицы измерений, применимость понятия "размерность", допустимость масштабных преобразований, реализация только посредством эталонов, допустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы. 2. Шкалы отношений, в которых не имеет смысла операция суммирования, называются "пропорциональными шкалами отношений", а шкалы, в которых эта операция имеет смысл, называют "аддитивными шкалами отношений". Например, шкала термодинамических температур - пропорциональная, шкала масс - аддитивная. Абсолютная шкала Шкала отношений (пропорциональная или аддитивная) безразмерной величины. Примечания. 1. Отличительные признаки абсолютных шкал: наличие естественных (не зависящих от принятой системы) единиц нуля и безразмерной единицы измерений, допустимость только тождественных преобразований, реализация как с помощью эталонов, так и без них, допустимость изменения спецификаций, описывающих конкретные шкалы. 2. Результаты измерений в абсолютных шкалах могут выражаться не только в безразмерных единицах, но и в процентах, промиллях, децибелах, битах (см. логарифмические шкалы), 3. Единицы абсолютных шкал могут применяться в сочетании с размерными единицами других шкал. Пример - плотность записи информации в бит/см. 4. Разновидностью абсолютных шкал являются дискретные (целочисленные, счетные, квантованные) шкалы, в которых результат измерения выражается безразмерным числом частиц, квантов или других единичных объектов, эквивалентных по количественному проявлению измеряемого свойства. Например, значение электрического заряда выражается числом электронов, значение энергии монохроматического электромагнитного излучения - числом квантов (фотонов). Иногда за единицу измерений в таких шкалах принимают какое-то определенное число частиц (квантов), например, один моль, т.е. число частиц равное числу Авогадро со специальным названием (Фарадей, Эйнштейн). Абсолютная ограниченная шкала Абсолютная шкала, диапазон значений которой находится в пределах от нуля до единицы (или некоторого предельного значения по спецификации шкалы). Логарифмическая шкала Шкала, построенная на основе систем логарифмов. Примечание . Для построения логарифмических шкал обычно используются системы десятичных или натуральных логарифмов, а также система логарифмов с основанием два. Логарифмическая шкала разностей Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log ( X / X 0), где Х - текущее, а Х 0 - принятое по соглашению опорное значение преобразуемой величины. Примечание. Выбор опорного значения Х 0 определяет нулевую точку логарифмической шкалы разностей. Логарифмическая абсолютная шкала Логарифмическая шкала измерений, получаемая логарифмическим преобразованием абсолютных шкал, когда в выражении L = log X под знаком логарифма X - безразмерная величина, описываемая абсолютной шкалой. Примечание. Другое название этой разновидности шкалы - логарифмическая шкала с плавающим нулем. Биофизическая шкала Шкала измерений свойств физического фактора (стимула), модифицированная таким образом, чтобы по результатам измерений этих свойств можно было прогнозировать уровень или характер реакции биологического объекта на действие этого фактора. Одномерная шкала Шкала, используемая для измерений свойства объекта, характеризуемого одним параметром; результаты измерений в такой шкале выражаются одним числом или знаком (обозначением). Многомерная шкала Шкала, используемая для измерений свойства объекта, характеризуемая двумя или более параметрами; результаты измерений в такой шкале выражаются двумя или более числами или знаками (обозначениями). Примечания. 1. Некоторые свойства, в принципе, невозможно описать одним параметром. Например, импеданс и комплексный коэффициент отражения описываются двумя параметрами, образующими двумерные шкалы; цвет описывается тремя координатами в моделях цветовых пространств, образующими трехмерные шкалы. 2. Многомерные шкалы могут быть образованы сочетанием шкал различных типов. Принятый по соглашению документ, в котором дано определение шкалы и (или) описание правил и процедур воспроизведения данной шкалы (или единицы шкалы, если она существует). Примечания. 1. Некоторые метрические шкалы, например, шкалы массы и длины, полностью специфицируются стандартизованными определениями единиц измерений. 2. Спецификации многих, даже метрических шкал, кроме определения единиц измерений содержат дополнительные положения. Например, спецификация шкалы световых измерений содержит не только определение единицы измерений яркости - канделы, но и табулированную функцию относительной спектральной световой эффективности монохроматического излучения для дневного зрения. Элементы шкал измерений Основные понятия, необходимые для определения школ: класс эквивалентности, нуль, условный нуль, условная единица измерений, естественная (безразмерная) единица измерений, диапазон шкалы измерений. Нуль шкалы Элемент шкал порядка (некоторых), интервалов, отношений и абсолютных, их начальная точка. Примечание . Различают естественный и условный нули шкал. Естественный нуль шкалы Начальная точка шкалы, соответствующая стремящемуся к нулю количественному проявлению измеряемого свойства. Условный нуль шкалы Точка шкалы разностей (интервалов) или шкалы порядка, которой по соглашению присвоено нулевое значение измеряемого свойства (величины). Примечание. Шкала может простираться по обе стороны от точки условного нуля. Например, в наиболее распространенной календарной шкале за условный ноль принят день Рождества Христова. Поэтому общепринято обозначение "...лет до Рождества Христова". Диапазон шкалы измерений Размер величины Количественная определенность измеряемой величины, присущая конкретному объекту деятельности. Значение величины Оценка размера величины по соответствующей ей шкале в виде некоторого числа принятых для нее единиц, чисел, баллов или иных количественных знаков (обозначений). Примечание. Для качественных свойств аналогичным термином является "оценка свойства". Оценка свойства Нахождение местоположения качественного свойства конкретного объекта деятельности на соответствующей шкале наименований. Истинное значение величины Значение величины, которое идеальным образом отражает положение на соответствующей ей шкале реализации количественного свойства конкретного объекта деятельности. Примечание. Для качественных свойств аналогичным термином является "истинная оценка свойства". Истинная оценка свойства Оценка свойства, которая идеальным образом отражает положение на соответствующей шкале наименований реализации качественного свойства конкретного объекта деятельности. Действительное значение величины Значение величины, настолько близкое к истинному значению, что для данной цели может быть использована вместо нее. Действительная оценка свойства Оценка свойства, настолько близкая к истинной оценке, что для данной цели может быть использована вместо нее. Единица измерений Величина фиксированного размера, для которой условно (по определению) принято числовое значение, равное 1. Примечания. 1. Термин "единица величины" является синонимом термина "единицы измерений". 2. Термин "единица физической величины", обозначающий более узкое понятие, применять не рекомендуется, так как невозможно определить границы его применения. 3. Понятие "единица измерений" не имеет смысла для свойств, описываемых шкалами наименований и порядка. Система единиц (измерений) Совокупность основных и производных единиц измерений, образованная в соответствии с принятыми по договоренности правилами (принципами). Примечание. Термин "система единиц физических величин" не вполне корректен, так как известные системы единиц, например, Международная ( SI ), охватывают не только физические величины, но и геометрические (плоский и телесный углы), световые и др. Пределы изменений значений измеряемого свойства, охватываемые данной конкретной реализации шкалы. Измеряемое свойство Проявления общего для объектов деятельности (тел, веществ, явлений, процессов) свойства, выделенного для познания и использования. Примечание. Измеряют количественные и качественные свойства не только физических, но и нефизических объектов (биологических, психологических, социальных, экономических и др.). Измеряемая величина (величина) Измеряемое свойство, характеризуемое количественными различиями. Примечание. Понятие "величина" не применимо к качественным свойствам, описываемым шкалами наименований, поэтому понятие "свойство" является более общим по сравнению с понятием "величина". Основные единицы системы Единицы величин, размеры и размерности которых в данной системе единиц приняты за исходные при образовании размеров и размерностей производных единиц. Примечание. Определения и процедуры воспроизведения некоторых основных единиц могут опираться на другие основные и производные единицы, а также на размерные и безразмерные константы. Производные единицы системы Единицы величин, образованные в соответствии с уравнениями, связывающими их с основными единицами или основными и уже определенными производными. Системные единицы Единицы, входящие в одну из принятых систем единиц. Внесистемные единицы Единицы, не входящие в рассматриваемую систему единиц. Примечание . Единица, внесистемная по отношению к некоторой системе, может быть системной по отношению к другой системе. Когерентная производная единица Производная единица, связанная с другими основными и производными единицами системы уравнением, в котором числовой коэффициент равен 1. Когерентная система единиц Система единиц, состоящая из основных и когерентных производных единиц. Примечание. Примером когерентной системы единиц является Международная система единиц - SI . Кратная единица Единица, в целое число раз большая системной или внесистемной единицы. Примечание . В SI образуется с множителем 10 в степени п. Дольная единица измерений Единица, в целое число раз меньшая системной или внесистемной единицы. Примечание . В SI образуется с множителем 10 в степени минус п. Условная единица измерений Единица, размер которой установлен по соглашению. Примечание. Условными единицами измерений, в частности, являются основные единицы Международной системы единиц ( SI ). Абсолютная единица измерений Единица измерения величины, описываемой абсолютной шкалой, размер которой однозначно определяется безразмерным характером измеряемой величины. Примечания. 1. В абсолютных единицах измеряются такие величины, как коэффициенты отражения, пропускания, усиления, ослабления и т.п. 2. Широко распространено применение дольных абсолютных единиц: процентов, промилле. Логарифмическая единица измерений Единица измерений логарифмической шкалы. Примечание. Получили распространение логарифмические единицы: бел, децибел, лог, децилог, непер, байт и др. Размер единицы Размер величины, принятой за единицу измерения. Измерение Сравнение конкретного проявления измеряемого свойства (измеряемой величины) со шкалой (частью шкалы) измерений этого свойства (величины) с целью получения результата измерения (значения величины или оценки свойства). Объект измерений Объект деятельности (тело, вещество, явление, процесс), одно или несколько конкретных проявлений свойств которого подлежат измерениям. Примечание. Объектами измерений являются как физические, так и нефизические объекты Средство измерений Объект, предназначенный для выполнения измерений, имеющий нормированные метрологические характеристики, воспроизводящий и (или) хранящий какую-либо часть (точку) шкалы с установленной погрешностью (неопределенностью) в течение заданного интервала времени. Мера Средство измерений, воспроизводящее и (или) хранящее одну или несколько точек шкалы измерений. Примечание. Понятие меры применимо в шкалах, описывающих как количественные свойства (величины - "мера величины"), так и качественные свойства, например, "мера цвета" - стандартизованный образец цвета. Однозначная мера Мера, воспроизводящая и (или) хранящая одну точку шкалы. Многозначная мера Мера, воспроизводящая и (или) хранящая две или более точек шкалы. Примечание. Многозначная мера может воспроизводить и (или) хранить некоторый участок шкалы. Пример: градуированный конденсатор переменной емкости. Набор мер Комплект мер, воспроизводящих точки шкалы (шкал), применяемых как в отдельности, так и, если это имеет смысл, в различных сочетаниях. Примеры: набор гирь, набор мер твердости, набор образцов цвета и т.д. Измерительный прибор Средство измерений, предназначенное для получения значения измеряемой величины или оценки свойства в установленном диапазоне (участке) шкалы измерений. Примечание. Измерительный прибор, как правило, содержит меру и устройства для преобразования измеряемой величины (измеряемого свойства) в сигнал измерительной информации и его индикации в форме, доступной для восприятия. Стандартный образец (вещества или материала) Мера специфического свойства (величины), в том числе характеризующего состав или значение величины (величин), для измерения которой необходимо учитывать особенности данного вещества (материала). Примечания. 1. Стандартные образцы, в основном, применяются непосредственно при выполнении измерений, но могут применяться и как эталоны при поверке (калибровке) средств измерений. 2. Существуют стандартные образцы неколичественных (качественных) свойств, например, в колориметрии широко применяются наборы стандартных образцов цвета объектов - атласы цветов. Измерительный преобразователь Средство измерений или его часть, служащее для получения и преобразования информации об измеряемой величине (измеряемом свойстве) в форму, удобную для обработки, хранения, дальнейших преобразований, индикации или передачи. Компаратор Устройство, среда, объект, используемый для сравнения хранимых или воспроизводимых средствами измерений участков (точек) шкал измерений. Примечание. Компаратор в совокупности с мерой может использоваться для измерений. Шкала средства измерений Часть отсчетного устройства средства измерений, представляющая собой упорядоченный ряд оцифрованных отметок, соответствующих хранимой и (или) воспроизводимой части шкалы измерений. Принцип измерений Явление или эффект, положенный в основу метода измерений. Метод измерений Прием или совокупность приемов сравнения конкретного проявления измеряемого свойства (измеряемой величины) со шкалой измерений возможных проявлений этого свойства (величины). Результат измерений Значение величины или оценка свойства, полученные путем измерений. Примечания. 1. За результат измерений в шкалах разностей (интервалов), отношений и абсолютных, чаще всего принимают среднее арифметическое из ряда результатов равноточных наблюдений. 2. В шкалах порядка за результат измерений можно принять медиану результатов ряда наблюдений, но нельзя принимать среднее арифметическое 3. Результат измерений в шкалах наименований выражается эквивалентностью конкретного проявления свойства точке или классу эквивалентности соответствующей шкалы. 4. Результат измерений должен также содержать информацию о его неопределенности (погрешности). Область (участок) шкалы измерений, в которой предположительно находится истинная оценка свойства или истинное значение измеряемой величины. Погрешность результата измерений (погрешность измерений) Отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины Примечания. 1. На практике всегда имеют дело с приближенной оценкой погрешности измерений, чаще всего получаемой как отклонение от действительного значения. 2. Термин "погрешность измерений" неприменим к результатам измерений в шкалах порядка и наименований, где применяется понятие "неопределенность результата измерения". 3. Различают по различным классификационным признакам погрешности измерений и их составляющие: систематические и случайные, инструментальные, метода измерений, абсолютные и относительные и др. Абсолютная погрешность измерений (абсолютная погрешность) Погрешность измерений, выраженная в единицах измеряемой величины. Примечание. Термин "абсолютная погрешность" применим к результатам измерений в шкалах разностей (интервалов), отношений и абсолютных. Относительная погрешность измерений (относительная погрешность) Погрешность измерений, выраженная отношением абсолютной погрешности измерений к значению измеряемой величины. Примечания. 1. Распространено представление относительной погрешности в процентах. 2. Понятие "относительная погрешность" применимо в измерениях величин по шкалам отношений и абсолютным шкалам, а также к интервалам величин, описываемых шкалами разностей (интервалов). Однако к самим величинам, описываемым шкалами разностей, это понятие неприменимо. Например, бессмысленно (невозможно) выражать в процентах погрешность измерений температуры по шкале Цельсия или погрешность датировки события. Неопределенности результатов измерений, выполняемых при воспроизведении шкалы. Погрешности воспроизведения шкалы Погрешности результатов измерений, выполняемых при воспроизведении точек шкалы. Погрешность воспроизведения единицы измерений Погрешность воспроизведения какой-либо точки шкалы разностей, отношений или абсолютной. Неопределенности передачи шкалы Неопределенности результатов измерений, выполняемых при передаче шкалы. Погрешности передачи шкалы Погрешности результатов измерений, выполняемых при передаче точек шкалы. Погрешность передачи какой-либо точки шкалы разностей, отношений или абсолютной. Эталон (шкалы или единицы измерений) Устройство, предназначенное и утвержденное для воспроизведения и (или) хранения и передачи шкалы или размера единицы измерений средствам измерений. Примечание. В Законе РФ "Об обеспечении единства измерений" используется термин "эталон единицы величины", по смыслу соответствующий термину "эталон шкалы или единицы измерений". Эталон шкалы измерений Эталон, воспроизводящий всю или какую-либо часть шкалы измерений. Примечания. 1. Эталон может воспроизводить одну точку шкалы (одно фиксированное значение величины) - см. эталон единицы измерений. 2. В шкалах наименований и порядка эталоны обязательно воспроизводят целиком практически используемый участок шкалы. Эталон единицы измерений Эталон, воспроизводящий одно значение измеряемой величины (одну точку шкалы). Примечание. Воспроизводимое эталоном единицы измерений значение величины может отличаться от единицы измерений. В настоящее время воспроизводят значение единицы измерений эталоны массы, длины, интервалов времени, электрического напряжения (исключительно или в ряду других значений). Первичный эталон Эталон, предназначенный для передачи шкалы или (и) размера единицы измерений вторичным и (или) рабочим эталонам, а также высокоточным средствам измерений. Вторичный эталон Эталон, которому путем сличения передается шкала или размер единицы от соответствующего первичного эталона для последующей передачи рабочим эталонам и другим средствам измерений. Государственный эталон Эталон, признанный решением уполномоченного на то государственного органа в качестве исходного на территории государства. Примечание. При международных сличениях государственные эталоны и другие, принадлежащие отдельным государствам эталоны, принято называть "национальными эталонами". Международный эталон Эталон, принятый по международному соглашению в качестве первичного международного эталона и служащий для согласования с ним шкал и размеров единиц измерений, воспроизводимых и хранимых национальными эталонами. Рабочий эталон Эталон, предназначенный для передачи шкалы (или размера единицы) рабочим эталонам низших разрядов (образцовым средствам измерений) и рабочим средствам измерений. Примечания. 1. Рабочие эталоны могут по иерархической подчиненности подразделяться на рабочие эталоны 1, 2-го и т.д. разрядов. 2. Рабочие эталоны применяют для поверки и калибровки средств измерений. Эталон сравнения Эталон, применяемый для сличения эталонов, которые не могут быть по разным причинам непосредственно сличены друг с другом. Эталон-переносчик Пригодный для транспортирования эталон, конструктивно предназначенный для передачи шкалы или размера единицы поверяемому или калибруемому рабочему эталону или средству измерений на месте его эксплуатации. Воспроизведение (шкалы или единицы измерений) Совокупность операций, имеющих целью воссоздание шкалы измерений (или ее участка) или размера единицы, соответствующих их спецификации (определению). Передача шкалы (или размера единицы измерений) Приведение шкалы (или ее участка) или размера единицы, хранимой поверяемым (калибруемым) эталоном или рабочим средством измерений в соответствие со шкалой (размером единицы измерений), воспроизводимой или хранимой более точным (исходным) эталоном. Поверка средств намерений Совокупность операций, выполняемых органами Государственной метрологической службы (другими уполномоченными на то органами, организациями) с целью определения и подтверждения соответствия средства измерений установленным техническим требованиям. Примечания. 1. Поверке подвергают средства измерений, применяемые в сфере распространения государственного метрологического контроля и надзора. 2. Как правило, основной операцией поверки является сравнение поверяемого средства измерений с более точным эталоном, применяемым при поверке. Этим самим осуществляется передача шкалы измерений рабочему средству измерений с регламентированной точностью. Часто при поверке проводится градуировка поверяемого средства измерений по эталону. Калибровка средства измерений Совокупность операций, выполняемых с целью определения и подтверждения действительных значений метрологических характеристик и (или) пригодности к применению средства измерений, не применяемого в сфере, подлежащей государственному метрологическому контролю и надзору. Примечание. Калибровка является метрологической услугой, основной задачей которой является передача калибруемому средству шкалы измерений в интересующем заказчика (потребителя) диапазоне измерений при приемлемой точности. Градуировка средств измерений (градуировка) Экспериментальное определение градуировочной характеристики средства измерений, т.е. установление соответствия между сигналами измерительной информации (отсчетами) и шкалой измерений. Примечание. Операции градуировки используются как при поверке, так и при калибровке. При этом могут устанавливаться поправки к показаниям градуируемых средств измерений.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ

В Величина измеряемая Воспроизведение (шкалы или единицы измерения) Г Градуировка средств измерений д Диапазон шкалы измерений Е Единство измерений Единица измерений Единица измерений абсолютная Единица измерений внесистемная Единица измерений дольная Единица измерений кратная Единица измерений логарифмическая Единица измерений производная Единица измерений производная когерентная Единица измерений системная Единица измерений системная основная Единица измерений системная производная Единица измерения условная З Значение величины Значение величины действительное Значение величины истинное И Измерение К Калибровка средств измерений Компаратор М Мера Мера многозначная Мера однозначная Метрология Метрология законодательная Метрология практическая (прикладная) Метрология теоретическая Метод измерения Н Набор мер Неопределенность воспроизведения шкалы Неопределенность передачи шкалы Неопределенность результата измерений Нуль шкалы Нуль шкалы естественный Нуль шкалы условный О Образец стандартный Объект измерений Оценка свойств Оценка свойств действительная Оценка свойств истинная П Передача шкалы (или размера единицы измерения) Поверка средств измерений Погрешность воспроизведения единицы Погрешность воспроизведения шкалы Погрешность измерения абсолютная Погрешность измерения относительная Погрешность передачи размера единицы измерений Погрешность передачи шкалы Погрешность результата измерений Преобразователь измерительный Прибор измерительный Принцип измерений Р Размер величины Размер единицы Результат измерений С Свойство измеряемое Система единиц Система единиц когерентная Спецификация шкалы измерений Средство измерений Т Тип шкалы Ш Шкала абсолютная Шкала абсолютная ограниченная Шкала биофизическая Шкала величин Шкала измерений Шкала логарифмическая Шкала логарифмическая абсолютная Шкала логарифмическая разностей Шкала многомерная Шкала наименований Шкала одномерная Шкала отношений Шкала порядка Шкала разностей (интервалов) Шкала средств измерений Э Эталон Эталон вторичный Эталон государственный Эталон единицы измерений Эталон международный Эталон рабочий Эталон сравнения Эталон первичный Эталон-переносчик Эталон шкалы измерений Элемент шкалы измерений

ШКАЛА ИЗМЕРЕНИЙ

ШКАЛА ИЗМЕРЕНИЙ

Основополагающее понятие метрологии, позволяющее количественно или к.-л. другим способом определить свойство объекта. Ш. и. является более общим понятием, чем единица физической величины, отсутствующая в нек-рых видах измерений. Ш. и. необходимы как для количественных (длина, темп-pa), так и для качественных (цвет) проявлений свойств объектов (тел, веществ, явлений, процессов). Проявления свойства образуют , элементы к-рого находятся в опре-дел. логич. отношениях между собой, т. е. являются т. н. системой с отношениями. Имеются в виду отношения типа "эквивалентность" (равенство), "больше", "меньше", возможность "суммирования" элементов или "деления" одного на другой. Ш. и. получается гомоморфным отображением множества элементов такой системы с отношениями на множество чисел или, в более общем случае,- на знаковую систему с аналогичными логич. отношениями. Такими знаковыми системами, напр., являются: множество обозначений (названий) цветов, совокупность классификац. символов или понятий, множество названий состояний объекта, множество баллов оценки состояний объекта и т. п. При таком отображении используется модель объекта, достаточно адекватно (для решения измерит. задач) описывающая логич. структуру рассматриваемого свойства этого объекта.

В соответствии с логич. структурой свойств в теории измерений принято в основном различать 5 типов Ш. и.: шкалы наименований, порядка, разностей (интервалов), отношений и абс. шкалы (см. табл.).

Шкала наименований характеризуется только отношением эквивалентности к.-л. качественного проявления свойства. Пример такой Ш. и.- классификация (оценка) цвета объекта по наименованиям (красный, белый, сине-зелёный и т. д.), опирающаяся на стандартные атласы цветов (в атласах цвета могут обозначаться усл. номерами). Измерения выполняются путём сравнения при опре-дел. освещении образцов цвета из атласа с исследуемым цветом и установления их эквивалентности.

Шкала порядка описывает свойства, для к-рых имеют смысл не только отношение эквивалентности, но и отношение порядка по возрастанию или убыванию количественного проявления свойства. Характерный пример шкал порядка - шкалы чисел твёрдости тел, шкалы баллов землетрясений, шкалы баллов ветра и т. д. В такого рода шкалах в принципе нет возможности введения единицы измерений, также не имеют смысла суждения, во сколько раз больше или меньше проявления конкретных свойств. Разл. варианты шкал порядка для одного и того же свойства связаны между собой монотонными зависимостями. В шкалах порядка может быть (иметь смысл) нуль или его может не быть. Так, шкалы твёрдости начинаются с не-к-рого ненулевого значения, сейсмич. шкала начинается с одного балла, а шкала Бофорта для силы ветра - с нулевого значения.

Шкала разностей (интервалов) отличается от шкалы порядка тем, что для описываемого ею свойства имеют смысл не только отношения эквивалентности и порядка, но и пропорциональности или суммирования интервалов (разностей) между разл. количественными проявлениями свойства. Характерный пример - шкалы времени; интервалы времени можно суммировать или вычитать, складывать же даты к.-л. событий бессмысленно. Шкалы разностей имеют усл. нуль, опирающийся на к.-л. репер (напр., шкала Цельсия, см. Температурная шкала).

Шкала отношений описывает свойства, ко множеству количественных проявлений к-рых применимы отношения эквивалентности, порядка, пропорциональности или суммирования (а следовательно, и вычитания, и умножения). В шкале отношений существует естеств. критерий нулевого количественного проявления свойства, т. е. нуль имеет не усл. значение, а вполне определ. физ. смысл. Примеры шкал отношений - шкала массы, термодина-мич. температурная шкала.

Абсолютные шкалы обладают всеми признаками шкал отношений, но дополнительно в них существует естественное однозначное определение единицы измерения. Такие Ш и. соответствуют относит. величинам - отношениям одноимённых физ. величин, описываемых шкалами отношений. К таким величинам относятся коэф. усиления, колебат. системы, коэф. ослабления и т. п. Среди абс. шкал выделяются ограниченные по диапазону шкалы, значения к-рых находятся в пределах от 0 до 1. Они характерны для , амплитудной модуляции и т. п. величин.

Большинство свойств, к-рые рассматривают в практич. метрологии, описывается одномерными Ш. и. Однако имеются свойства, к-рые в принципе можно описать только многомерными шкалами. Таковы, напр., трёхмерные шкалы цвета в колориметрии. Шкалы сортности изделий и продуктов в общем случае являются многомерными шкалами наименований и опираются на ряд факторов, каждый из к-рых определяется по специализир. шкалам наименований порядка или по общим шкалам интервалов, отношений и абсолютным, описывающим общепринятые физ. величины и параметры (напр., размеры изделия).

Практич. реализация шкал конкретных свойств достигается путём стандартизации шкал и единиц измерений, а также способов и условий их однозначного воспроизведения эталонами и средствами измерений. Понятие единицы измерений, неизменной для любых участков шкалы, имеет смысл только для шкал отношений и разностей, а также

для абс. шкал. В соответствии с этим положением единицы измерений, охватываемые междунар. системой единиц, соответствуют величинам, описываемым только шкалами отношений и разностей. Конкретные матем. ф-лы в науке и технике могут связывать также только такие величины и разности величин, к-рые описываются соответственно шкалами отношений, разностей и абсолютными. Поэтому измерения в шкалах порядка и наименований иногда наз. оцениванием.

Для шкал отношений и разностей в нек-рых случаях оказывается недостаточным установление только единиц измерений. Так, даже для таких величин, как , сила света, темп-pa, к-рым в международной системе единиц соответствуют осн. единицы - , кандела, кельвин, практич. системы измерений опираются также на спец. Ш. и. Кроме того, сами единицы в ряде случаев определяются с использованием фундаментальных физических констант или метрологич. констант (см., напр., Кандела).

По мере развития метрологии наблюдается тенденция рассматривать в качестве объектов измерений все новые, и не только физические, свойства и соответствующие им величины. Так, напр., формируется и описан метрологич. подход к изучению и описанию свойств биол., психологич., социальных (в т. ч. экономических) систем, создаются новые и совершенствуются уже существующие Ш. и.

Лит.: Пфанцагль И., Теория измерений, пер. с англ., M., 1976; Кнорринг В. Г., Теоретические основы информационно-измерительной техники. Основные понятия теории шкал. Конспект лекций. Л., 1983; Пиотровский Я., Теория измерений для инженеров, пер. с польск., M., 1989; Брянский Л. H., Дойников А. С., Краткий справочник метролога, M., 1991; Кнорринг В. Г., Шкалы, используемые при измерениях, "Измерит. техника", 1992. №6, с. 11; Брянский Л. H., Дойников А. С., Крупин Б. H., Шкалы, единицы и

Рациональное использование информации, получаемой от экспертов, возможно при условии преобразования ее в форму, удобную для дальнейшего анализа, направленного на подготовку и принятие решений.

Если эксперт в состоянии сравнить и оценить возможные варианты действий, приписав каждому из них определенное число, будем считать, что он обладает определенной системой предпочтений.

В зависимости от того, по какой шкале могут быть заданы эти предпочтения, экспертные оценки содержат больший или меньший объем информации и обладают различной способностью к математической формализации.

В жизни мы привыкли пользоваться количественными показателями, выраженными в разных измерительных шкалах. Можно записать, что вес тела равен 5 кг, но можно использовать и другую шкалу – 5000 г или 0,005 т, но можно указать интервал: «вес тела больше 3 кг и меньше 10 кг» или «вес тела в пределах первого десятка». Вместо «750 мм ртутного столба» можно записать «1000 гектопаскалей», а можно указать, что «атмосферное давление несколько выше нормы». «451 градус по Фаренгейту» (температура возгорания бумаги) – это «232,78 градусов Цельсия» или «505,93 градусов Кельвина». Понятия «шкала измерения», «тип шкалы», «допустимые преобразования» играют важную роль в теории измерений.

Рассмотрим основные логические аксиомы, используемые в экспертных методах при формализации информации с помощью различных шкал.

5.1. Дихотомическая (номинальная) шкала.

Если различные градации шкалы измерения показателя нельзя упорядочить по условию «больше – меньше» («лучше – хуже») или расположить в порядке появления во времени, то такая совокупность градаций образует шкалу наименований. Шкалу наименований имеют показатели, градации которых могут быть заданы только в виде перечня. В частности, шкала, содержащая всего две градации – «есть» и «нет» (дихотомическая) – является шкалой наименований. Характеристикой центральной тенденции (среднего) на шкале наименований может служить «мода» – значение показателя, которое указано наибольшим числом экспертов, или же наибольшее число раз встретилось в проведённом статистическом исследовании (если речь идёт, например, о видах дефектов продукции). Для небольшого числа оценок эта характеристика также теряет смысл, и тогда центральную тенденцию характеризовать невозможно. Если в распределении двум (или нескольким) каким-либо значениям показателя соответствуют приблизительно одинаковые числа оценок, распределение называют бимодальным (полимодальным).

При использовании номинальных шкал исследуемые объекты можно опознавать на основе трех аксиом идентификации:

1) Х либо есть Y , либо есть не Y ;

2) если Х есть Y , то Y есть Х ;

3) если Х есть Y , и Y есть Z , то Х есть Z .

Дихотомическая шкала позволяет отметить, относится ли данный объект к интересующей нас группе или нет.

Пример. Две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (отчисление из института) измеряются в дихотомической шкале (табл.22).

Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона составляется таблица сопряжённости (табл.23).

Таблица 22

Вычисление коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных проводится по формуле

(5.1)

Напомним, что при случайные величины и являются независимыми, а при связь между ними линейная. Так как в нашем случае , то корреляция между величинами существует, но непрямая ().

5.2. Шкала наименований.

Шкала наименований (номинальная), в которой числа используются исключительно с целью обозначения объектов. Кроме сравнения на совпадение, любые арифметические действия над числами, обозначающими имена объектов, бессмысленны. С помощью шкалы наименований часто отмечают, присутствует или отсутствует какой-то признак в объекте.

Аксиомы тождества:

(5.2)

Допустимые операции:

– символ Кронекера ;

– число наблюдений го класса; ;

– относительная частота класса ;

– мода ;

– коэффициент согласия (конкордации);

– проверка по тесту .

Примеры номинальных шкал: названия болезней; поч­товые, телефонные, автомобильные индексы регионов и стран; пол человека.

5.3. Шкала порядков (ранговые шкалы).

В случаях, когда исследуемые объекты можно в результате сравнения расположить в определенной последовательности с учетом какого-либо существенного фактора (факторов), используются порядковые шкалы, позволяющие устанавливать равноценность или доминирование.

Шкала порядков (ранговая шкала), при измерении в которой мы получаем информацию лишь о том, в каком порядке объекты следуют друг за другом по какому-то свойству. Примером могут служить шкалы, по которым измеряются твёрдость материалов, «похожесть» объектов. К этой группе шкал относится большинство шкал, используемых в социологических и психологических исследованиях. Частным случаем шкал порядка являются балльные шкалы, используемые в практике спортивного судейства или оценок знаний в школе. Если, скажем, по некоторой дисциплине два студента имеют оценки «отлично» и «удовлетворительно», то можно лишь утверждать, что уровень подготовки по этой дисциплине первого студента выше (больше), чем второго, но нельзя сказать, на сколько или во сколько раз больше.

Оказывается, что в таких случаях проблема оценки тесноты связи разрешима, если упорядочить, или ранжировать, объекты анализа по степени выраженности измеряемых признаков. При этом каждому объекту присваивается определенный номер, называемый рангом. Например, объекту с наименьшим проявлением (значением) признака присваивается ранг 1, следующему за ним – ранг 2 и т.д. Объекты можно располагать и в порядке убывания проявления (значений) признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то имеется возможность оценить тесноту связи между признаками, основываясь на рангах, т.е. тесноту ранговой корреляции.

В дополнение к (5.2) в этой шкале необходимо добавить следующие аксиомы - аксиомы упорядоченности :

Существует ещё шкала частичного порядка . «Частичный порядок» часто встречается при оценке субъективных предпочтений.

Примеры шкалы порядков :

1) Более длинный отпуск предпочтительнее уменьшения рабочего дня на полчаса. Уменьшение рабочего дня на полчаса предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р. Но необязательно более длинный отпуск предпочтительнее повышения зарплаты на 500 р.

2) Что лучше: клетчатые шарфы или семискоростные миксеры; чтение литературы или прослушивание музыкальных записей.

3) Шкала твёрдости по Моору (1811 г.): из двух минералов твёрже тот, который оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном соприкосновении. Эталоны: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – кальций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд, 10 – алмаз.

4) Шкала силы ветра по Бофорту (1806 г.). Сила ветра определяется по волнению моря: 0 – штиль, 4 – умеренный ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган.

5) Балльные шкалы оценки знаний учащихся.

Отметим, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они выражены числами, нельзя рассматривать как числа, например, нельзя вычислять выборочное среднее.

Допустимые операции:

– ранг объёма

, где .

(5.3)

Ранги можно присваивать по старшему в группе одинаковых, по среднему, либо случайным образом.

– выборочная медиана, т.е. наблюдение с рангом , ближайшее к ;

– выборочные квантили любого уровня , т.е. наблюдение с рангом , ближайшим к ;

– коэффициенты корреляции: - Спирмена, - Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена находится по формуле:

.

(5.4)

где и ранги го объекта по переменным и , число пар наблюдений.

Если ранги всех объектов равны (), то , т.е. при полной прямой связи . При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что и по формуле (5.4) . Во всех остальных случаях .

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла находится по формуле:

.

(5.5)

Для определения необходимо ранжировать объекты по одной переменной в порядке возрастания рангов и определить соответствующие их ранги () по другой переменной. Статистика равна общему числу инверсий (нарушений порядка, когда большее число стоит слева от меньшего) в ранговой последовательности (ранжировке ) . При полном совпадении двух ранжировок имеем и ; при полной противоположности можно показать, что и . Во всех остальных случаях .

5.4. Шкала интервалов.

Шкала интервалов, в которой можно менять как начало отсчёта, так и единицы измерения. Если упорядочивание объектов можно выполнить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них, то измерение оказывается значительно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно выражать все измерения в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по всей длине шкалы. Следствием такой равномерности шкал этого класса является независимость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы измерены (т.е. какова единица длины и какое значение принято за начало отсчёта).

Если в одной шкале измеренные интервалы равны и , а во второй – и , то справедливо соотношение: .

В этой шкале только интервалы могут иметь смысл настоящих чисел, допускающих математические действия с ними. Примерами шкал интервалов могут быть шкалы для измерения температуры (Цельсия, Кельвина (К = 273 + С), Фаренгейта (F = 5/9C + 32)), давления, промежутков времени и т.п.

Допустимые операции – определение интервала между двумя измерениями. Над интервалами – любые арифметические или статистические операции.

5.5. Шкала отношений.

Шкала отношений, в которой начало отсчёта неизменно, а единицы измерения можно изменять (масштабировать). К предыдущим пяти аксиомам необходимо добавить еще четыре.

Аксиомы аддитивности :

(5.6)

Измерения в этой шкале являются полноправными числами, с ними можно выполнять любые арифметические действия. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в какой из шкал произведены измерения, т.е. .

Примерами шкал отношений являются шкалы для измерения веса, длины и т.п.

5.6. Абсолютная шкала.

Абсолютная шкала, результатом измерения в которой является число, выражающее количество элементов в множестве. В данной шкале начало отсчёта и единицы измерения неизменны. Числа, полученные по такой шкале, можно складывать, вычитать, делить, умножать – все эти действия будут осмысленными. Из перечисленных шкал абсолютная шкала является самой «сильной», а номинальная – самой «слабой». Действительно, из абсолютных данных можно узнать всё то, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот.

Пример. Из того, что в группе А – 15 студентов, в группе В – 20, а в группе С – 30, можно узнать:

в А студентов в 2 раза меньше, чем в С (шкала отношений);

в В студентов на 10 человек меньше, чем в С (шкала интервалов);

в А студентов просто меньше, чем в В и С (шкала порядка);

в А, В, С студентов не одно и то же количество (шкала наименований).

Использовать только абсолютные шкалы не всегда целесообразно. Для получения информации о свойствах, измеряемых в сильных шкалах, требуются более совершенные (сложные, дорогие) измерительные приборы и процедуры. К тому же, таких приборов и процедур для измерения многих характеристик просто нет. Например, можно выяснить, чего данному человеку хочется больше – чая или кофе, но определить, насколько больше или во сколько раз, затруднительно.

В зависимости от существа или важности того или иного фактора на этапе подготовки и принятия решений могут быть использованы различные шкалы. В таблице приведены типы шкал и их основные характеристики.

14. Понятие, виды, особенности измерительных шкал

Измерение - это алгоритмическая операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта ставит в соответствие определенное обозначение: число, помер или символ. Обозначим через хi. i=1,…, m наблюдаемое состояние (свойство) объекта, а через уi, i = 1,..,m - обозначение для этого свойства. Чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не только от организации измерений (т. е. от экспериментатора), но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия в свою очередь определяет допустимые (и недопустимые) способы обработки данных!

Измерительные шкалы в зависимости от допустимых на них операций различаются по их силе. Самые слабые - номинальные шкалы, а самые сильные - абсолютные.

С. Стивенсом предложена классификация из 4 типов шкал измерения:

1) номинативная, или номинальная, или шкала наименований;

2) порядковая, или ординальная, шкала;

3) интервальная, или шкала равных интервалов;

4) шкала равных отношений.

Выделяют три основных атрибута измерительных шкал, наличие или отсутствие которых определяет принадлежность шкалы к той или иной категории:

1. упорядоченность данных означает, что один пункт шкалы, соответствующий измеряемому свойству, больше, меньше или равен другому пункту;

2. интервальность пунктов шкалы означает, что интервал между любой парой чисел, соответствующих измеряемым свойствам, больше, меньше или равен интервалу между другой парой чисел;

3. нулевая точка (или точка отсчета) означает, что набор чисел, соответствующих измеряемым свойствам, имеет точку отсчета, обозначаемую за ноль, что соответствует полному отсутствию измеряемого свойства.

Кроме того, выделяют следующие группы:

неметрические или качественные шкалы, в которых отсутствуют единицы измерений (номинальная и порядковая(ранговая) шкалы);

количественные или метрические (шкала интервалов, абсолютная шкала).

Шкалирование представляет собой отображение какого-либо свойства объекта или явления в числовом множестве.

Можно сказать, что чем сильнее шкала, в которой производятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте, явлении, процессе дают измерения. Поэтому так естественно стремление каждого исследователя провести измерения в возможно более сильной шкале. Однако важно иметь в виду, что выбор шкалы измерения должен ориентироваться на объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и лучше всего производить измерения в той шкале, которая максимально согласована с этими отношениями. Можно измерять и в шкале более слабой, чем согласованная (это приведет к потере части полезной информации), но применять более сильную шкалу опасно: полученные данные на самом деле не будут иметь той силы, на которую ориентируется их обработка.

Иногда же исследователи усиливают шкалы; типичный случай - «оцифровка» качественных шкал: классам в номинальной или порядковой шкале присваиваются номера, с которыми дальше «работают» как с числами. Если в этой обработке не выходят за пределы допустимых преобразований, то «оцифровка» - это просто перекодировка в более удобную (например, для ЭВМ) форму. Однако применение других операций сопряжено с заблуждениями, ошибками, так как свойства, навязываемые подобным образом, на самом деле не имеют места.

Виды шкал:

Номинативная или шкала наименований:

Позволяет установить к какому классу относится тот или иной объект измерения. Все объекты группируются по классам. Каждому классу приписывается значение. Особенностью является то, что учитывается одно значение чисел. Обычные арифметические операции недопустимы. Мы можем сделать вывод о тождественности по измеряемому свойству. Иными словами, объекты сравниваются друг с другом и определяется их эквивалентность -- неэквивалентность. В результате процедуры образуется совокупность классов эквивалентности. Объекты, принадлежащие одному классу, эквивалентны друг другу и отличны от объектов, относящихся к другим классам. Эквивалентным объектам присваиваются одинаковые имена. О шкале наименований можно говорить в том случае, когда эмпирические объекты просто "метятся" числом. Несмотря на тенденцию "завышать" мощность шкалы, психологи очень часто применяют шкалу наименований в исследованиях. "Объективные" измерительные процедуры при диагностике личности приводят к типологизации: отнесению конкретной личности к тому или иному типу. Примером такой типологии являются классические темпераменты: холерик, сангвиник, меланхолик и флегматик.

Самая простая номинативная шкала называется дихотомической. При измерениях по дихотомической шкале измеряемые признаки можно кодировать двумя символами или цифрами, например 0 и 1, или 2 и 6, или буквами А и Б, а также любыми двумя отличающимися друг от друга символами. Признак, измеренный по дихотомической шкале, называется альтернативным. В дихотомической шкале все объекты, признаки или изучаемые свойства разбиваются на два непересекающихся класса, при этом исследователь ставит вопрос о том, «проявился» ли интересующий его признак у испытуемого или нет.

Операции с числами для номинативной шкалы.

1) Нахождение частот распределения по пунктам шкалы с помощью процентирования или в

численности к общему ряду распределения (частоты).

2) Поиск средней тенденции по модальной частоте. Модальной (Мо) называют группу с

наибольшей численностью. Эти две операции дают представление о распределении

психологических характеристик в количественных показателях. Его наглядность повышается

отображением в диаграммах.

3) Самым сильным способом количественного анализа является установление взаимосвязи

между рядами свойств, расположенных неупорядоченно. С этой целью составляют

перекрестные таблицы. Помимо простой процентовки в таблицах перекрестной

Порядковая (ранговая) шкала:

Измерения предполагают приписывание объектам чисел в зависимости от выраженности признака. Данная шкала делит всю совокупность признаков на множество, которые связаны отношениями «больше - меньше». Для объектов с одинаковой выраженностью признака используется правило равных рангов. При ранжировании необходимо указывать какому значению (наибольшему или наименьшему) присваивается первый ранг. Эта операция должна быть одинакова для всех признаков.

Чтобы проверить правильность ранжирования используется формула: сумма рангов равна общее количество измерений умноженное на сумму N+1 и делённое на 2.

Шкалы порядка широко используются в психологии познавательных процессов, экспериментальной психосемантике, социальной психологии: ранжирование, оценивание, в том числе педагогическое, дают порядковые шкалы. Классическим примером использования порядковых шкал является тестирование личностных черт, а также способностей. Большинство же специалистов в области тестирования интеллекта полагают, что процедура измерения этого свойства позволяет использовать интервальную шкалу и даже шкалу отношений.

В качестве характеристики центральной тенденции можно использовать медиану, а в качестве характеристики разброса - процентили. Для установления связи двух измерений допустима порядковая корреляция (т-Кэнделла и р-Спирмена).

Характерной особенностью порядковых шкал является то, что отношение порядка ничего не говорит о дистанции между сравниваемыми классами. Поэтому порядковые экспериментальные данные, даже если они изображены цифрами, нельзя рассматривать как числа.Числовые значения порядковой шкалы нельзя складывать, вычитать, делить и умножать.

Интервальная шкала.

Отражает уровень выраженности свойства. Данная шкала предполагает использование единиц измерения. Тестовые шкалы, разработанные в следствии стандартизации. Но в данной шкале не существует нулевой точки отсчёта. Ряд авторов полагают, что относить тесты интеллекта к шкалам интервалов нет оснований. Во-первых, каждый тест имеет "нуль" - любой индивид может получить минимальный балл, если не решит ни одной задачи в отведенное время. Во-вторых, тест имеет максимум шкалы -- балл, который испытуемый может получить, решив все задачи за минимальное время. В-третьих, разница между отдельными значениями шкалы неодинакова. По крайней мере, нет никаких теоретических и эмпирических оснований утверждать, что 100 и 120 баллов по шкале IQ отличаются на столько же, на сколько 80 и 100 баллов.

Скорее всего, шкала любого теста интеллекта является комбинированной шкалой, с естественным минимумом и\или максимумом, но порядковой. Однако эти соображения не мешают тестологам рассматривать шкалу IQ как интервальную, преобразуя "сырые" значения в шкальные с помощью известной процедуры "нормализации" шкалы

Интервальная шкала позволяет применять практически всю параметрическую статистику для анализа данных, полученных с ее помощью. Помимо медианы и моды для характеристики центральной тенденции используется среднее арифметическое, а для оценки разброса--дисперсия. Можно вычислять коэффициенты асимметрии и эксцесса и другие параметры распределения. Для оценки величины статистической связи между переменными применяется коэффициент линейной корреляции Пирсона и т.д.

Операции с числами в интервальной метрической шкале богаче. Чем в номинальных

1) Точка отсчета на шкале выбирается произвольно.

2) Все методы описательной статистики.

3) Возможности корреляционного и регрессионного анализа. Можно использовать коэффициент парной корреляции Пирсона и коэффициенты множественной корреляции, что может предсказать изменения в одной переменной в зависимости от изменений в другой или в целом ряде переменных.

Шкала абсолютная. (шкала отношений):

Шкалу отношений называют также шкалой равных отношений. Особенностью этой шкалы является наличие твердо фиксированного нуля, который означает полное отсутствие какого-либо свойства или признака. Шакала отношений является наиболее информативной шкалой, допускающей любые математические операции и использование разнообразных статистических методов. Шкала отношений по сути очень близка интервальной, поскольку если строго фиксировать начало отсчета, то любая интервальная шкала превращается в шкалу отношений.

Шкала отношений показывает данные о выраженности свойств объектов, когда можно сказать, во сколько раз один объект больше или меньше другого.

Это возможно лишь тогда, когда помимо определения равенства, рангового порядка, равенства интервалов известно равенство отношений. Шкала отношений отличается от шкалы интервалов тем, что на ней определено положение "естественного" нуля. Классический пример -- шкала температур Кельвина. Именно в шкале отношений производятся точные и сверхточные измерения в таких науках, как физика, химия, микробиология и др. Измерение по шкале отношений производятся и в близких к психологии науках, таких, как психофизика, психофизиология, психогенетика.

Измерения массы, времени реакции и выполнения тестового задания -- области применения шкалы отношений.

В шкалах отношений классы обозначаются числами, которые пропорциональны друг другу: 2 так относится к 4, как 4 к 8. Это предполагает наличие абсолютной нулевой точки отсчета. Считается, что в психологии примерами шкал равных отношений являются шкалы порогов абсолютной чувствительности. Возможности человеческой психики столь велики, что трудно представить себе абсолютный нуль в какой-либо измеряемой психологической переменной. Абсолютная глупость и абсолютная честность – понятия скорее житейской психологии.

Возможны преобразования из одной шкалы в другую. Результаты, полученные по шкале интервалов, могут быть преобразованы в ранги или переведены в номинативную шкалу.

Рассмотрим, например, первичные результаты шести испытуемых по шкале экстраверсии-

интроверсии теста Айзенка. психолог обязан помнить, что в действительности

скрывается за величинами, которыми он оперирует.

1) Первое ограничение – соразмерность количественных показателей, фиксированных разными шкалами в рамках одного исследования. Более сильная шкала отличается от слабой тем, что допускает более широкий диапазон математических операций с числами. Все, что допустимо для слабой шкалы допустимо и для более сильной, но не наоборот. Поэтому, смешение в анализе мерительных эталонов разного типа приводит к тому, что не используются возможности сильных шкал.

2) Второе ограничение связано с формой распределения величины фиксированных описанными выше шкалами, которое предполагается нормальным.

В системном анализе выделяют раздел «теория эффективности», связанный с определением качества систем и процессов, их реализующих. Теория эффективности - научное направление, предметом изучения которого являются вопросы количественной оценки качества характеристик и эффективности функционирования сложных систем.

Оценка сложных систем может проводиться для разных целей:

4) для оптимизации - выбора наилучшего алгоритма из нескольких, реализующих один закон функционирования системы;

5) для идентификации - определения системы, качество которой наиболее соответствует реальному объекту в заданных условиях;

6) для принятия решений по управлению системой.

Общим во всех подобных задачах является подход, основанный на том, что понятия «оценка» и «оценивание» рассматриваются раздельно и оценивание проводится в несколько этапов. Под оценкой понимают результат, получаемый в ходе процесса, который определен как оценивание . Т.е. с термином «оценка» сопоставляется понятие «истинность», а с термином «оценивание» - «правильность». Истинная оценка может быть получена только при правильном процессе оценивания. Это положение определяет место теории эффективности в задачах системного анализа.

Выделяют четыре этапа оценивания сложных систем.

Этап 1. Определение цели оценивания. Выделяют два типа целей: качественные и количественные, достижение которых выражаются в соответствующих шкалах. Определение цели должно осуществляться относительно системы, в которой рассматриваемая система является элементом (подсистемой).

Этап 2. Измерение свойств систем, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы измерений свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах.

Этап 3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на выбранных шкалах свойств.

Этап 4. Собственно оценивание. Все исследуемые системы, рассматриваемые как альтернативы, сравниваются по сформулированным критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются и т.д.

2.1.1. Понятие шкалы

В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал. Исследование характеристик привело к выводу о том, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов , j , Y>, где Х - реальный объект, Y - шкала, j - гомоморфное отображение X на Y .

В современной теории измерений определено:

X= {x 1 , х 2 ,…x i ,…, х п , R x } - эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств x i , на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение R x . В процессе измерения необходимо каждому свойству х i ÎX поставить в соответствие признак или число, его характеризующее. Если, например, целью измерения является выбор, то элементы х i рассматриваются как альтернативы, а отношение R x позволяет сравнивать эти альтернативы; Y ={j (x 1),…, j(х п), R y } знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе; j Î Ф - гомоморфное отображение X на Y , устанавливающее соответствие между X и Y так, что {j (x 1),…, j(х п), R y }ÎR y только тогда, когда (х 1 ,..., х п, ) Î R x .

Тип шкалы определяется по множеству допустимых преобразований Ф.

В соответствии с приведенными определениями, охватывающими как количественные, так и качественные шкалы, измерение эмпирической системы X с отношением R x состоит в определении знаковой системы Y с отношением R , соответствующей измеряемой системе. Предпочтения R x на множестве Х ´Х в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения R y на множестве Y ´Y.

2.1.2. Шкалы номинального типа

Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований , классификационная шкала ), по которой объектам или их неразличимым группам дается некоторый признак. Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксированы. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т. п. Единственная цель таких измерений выявление различий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов.

На рис.2.1 изображено измерение в номинальной шкале объектов, представляющих три множества элементов А, В, С. Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента: а ÎA, b ÎВ, {с, d} ÎС. Знаковая система представлена цифровой шкалой наименований, включающей элементы 1, 2,..., n и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение φ ставит в соответствие каждому элементу из эмпирической системы определенный элемент знаковой системы. Номинальные шкалы имеют две особенности:

Всякая обработка результатов измерения в номинальной шкале должна учитывать данные особенности. В противном случае могут быть сделаны ошибочные выводы по оценке систем, не соответствующие действительности.

2.1.3. Шкалы порядка

Шкала называется ранговой (шкалой порядка ), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование φ (х ), которое удовлетворяет условию: если х 1 > х 2 , то и φ (х 1) > φ (х 2) для любых шкальных значений из области определения. Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам.

Ситуации для применения ранговой шкалы:

Необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. При этом интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением объектов;

Нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

Какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Примеры шкал порядка: шкала твердости минералов, предложенная в 1811 г. немецким ученым Ф. Моосом и до сих пор распространенная в полевой геологической работе; шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, социологические шкалы и т.п.

Любая шкала, полученная из шкалы порядка S с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также точной шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями.

2.1.4. Шкалы интервалов

Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов . Этот тип содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида φ (х ) = ах + b, где х ÎY Y; а > 0; b - любое значение.

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:

Примеры применения шкал интервалов:

1) Шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений:
t °F = 1,8 t °С + 32.

2) Измерение признака «дата совершения события», поскольку для измерения времени в конкретной шкале необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета. Григорианский и мусульманский календари - две конкретизации шкал интервалов.

При переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).

Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись означает, что расстояние между х 1 и х 2 в K раз больше расстояния между х 3 и х 4 и в любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохранится. При этом отношения самих оценок не сохраняются.

В социологических исследованиях в шкалах интервалов обычно измеряют временные и пространственные характеристики объектов. Например, даты событий, стаж, возраст, время выполнения заданий, разницу в отметках на графической шкале и т.д. Однако прямое отождествление замеренных переменных с изучаемым свойством не столь просто.

Типичная ошибка: свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, монотонно связанных с данными.

Применяемые для измерения связанных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка. Игнорирование этого факта приводит к неверным результатам.

2.1.5. Шкалы отношений

Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия j(х) = ах, а >0, где х Î Y- шкальные значения из области определения Y; а - действительные числа. В шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов: .

Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. При установлении массы используется большое разнообразие численных оценок: производя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение расстояний и длин предметов.

Шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра b : b = 0. Это соответствует заданию нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы отношений к другой, эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменением масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отношения расстояний между парами объектов.

2.1.6. Шкалы разностей

Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига φ (х ) = х + b, где х ÎY шкальные значения из области определения Y; b - вещественные числа. Т.е. при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета. Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств: φ (х 1) - φ (х 2) = х 1 - х 2 .

Примеры измерений в шкалах разностей:

3) Измерение прироста продукции предприятий (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым;

4) Увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т. д.

5) Летоисчисление (в годах). Переход от одного летоисчисления к другому осуществляется изменением начала отсчета.

Шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием параметра а : (а = 1), т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной. Шкалы разностей сохраняют отношения интервалов между оценками пар объектов, но, в отличие от шкалы отношений, не сохраняют отношения оценок свойств объектов.

2.1.7. Абсолютные шкалы

Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: φ (х ) = {е }, где е(х) = х.

Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и вещественные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.

Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, например, степенная шкала φ(х) = ах b ; а >0, b >0, а ¹1, b ¹1, и ее разновидность логарифмическая шкала φ(х) = х b ; b >0, b ¹1.

Изобразим для наглядности соотношения между основными типами шкал в виде иерархической структуры основных шкал (рис.2.2). Стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе φ(х) . Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильными. Например, равносильны шкала интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношений.