Главная страница » Решенные примеры » Профиль » Примеры задания 13 (профиль)

Пример №80 из задания 13 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс


а) Решите уравнение `cosx+sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=0`.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку `[-(11pi)/2; -4pi]`.
Источник:
ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №4) (Купить книгу)

Решение №1 (электронный вид):

а) `cosx+sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=0`

ОДЗ: `cosx<=0`

`sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=-cosx`;

Избавимся от корня квадратного, для этого правую и левую части уравнения возведем в квадрат:

`(2-sqrt(2))/2 *(sinx+1)=cos^2 x`;

Умножим обе части уравнения на два:

`(2-sqrt(2)) *(sinx+1)=2cos^2 x`;

`2sinx+2-sqrt(2)sinx-sqrt(2)=2cos^2 x`;

Применим основное тригонометрическое тождество для правой части уравнения `cos^2 x+sin^2 x=1` `=>` `2cos^2 x+2sin^2 x=2=>` `2cos^2 x=2-2sin^2 x`:

`2sinx+2-sqrt(2)sinx-sqrt(2)=2-2sin^2 x`;

`(2-sqrt(2))sinx+2-sqrt(2)=2-2sin^2 x`;

`2sin^2 x+(2-sqrt(2))sinx+2-sqrt(2)-2=0`;

`2sin^2 x+(2-sqrt(2))sinx-sqrt(2)=0`;

`D=b^2-4ac=(2-sqrt(2))^2-4*2*(-sqrt(2))=4-4sqrt(2)+2+8sqrt(2)=` `6+4sqrt(2)`.

Дискриминант у нас "не красивый", попробуем с ним что-нибудь сделать:

`6+4sqrt(2)=` `6+4sqrt(2)+sqrt(2)^2-2=` `sqrt(2)^2+4sqrt(2)+4=` `(sqrt(2)^2+2sqrt(2))+(2sqrt(2)+4)=` `sqrt(2)(sqrt(2)+2)+2(sqrt(2)+2)=(sqrt(2)+2)(sqrt(2)+2)=` `(sqrt(2)+2)^2`.

Найдем корни:

`sinx_1=(-2+sqrt(2)-sqrt((sqrt(2)+2)^2))/4=(-2+sqrt(2)-sqrt(2)-2)/4=-1`;

`sinx_2=(-2+sqrt(2)+sqrt((sqrt(2)+2)^2))/4=(-2+sqrt(2)+sqrt(2)+2)/4=(sqrt(2))/2`.

Первый корень:

`sinx=-1`;

`x=-pi/2+2pin, n in Z`;

Второй корень:

`sinx=(sqrt(2))/2`;

`x=pi/4+2pin, n in Z`;

`x=(3pi)/4+2pin, n in Z`.

С учетом ОДЗ остаются следующие корни (см. тригонометрическую окружность ниже):

`x=-pi/2+2pin, n in Z` и `x=(3pi)/4+2pin, n in Z`.

cosx+sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=0
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие промежутку `[-(11pi)/2; -4pi]`.

cosx+sqrt((2-sqrt(2))/2 *(sinx+1))=0
Получились следующие корни: `-(21pi)/4; -(9pi)/2`.

Решение №2 (скан):

$IMAGE3$
Ответ: а) `-pi/2+2pin; (3pi)/4+2pin, n in Z`;
б) `-(21pi)/4; -(9pi)/2`.
Категория: Примеры задания 13 (профиль) | Добавил: Администратор
Просмотров: 5461 | | Рейтинг: 5.0/7
Всего комментариев: 0
avatar