Главная страница » Решенные примеры » Профиль » Примеры задания 12 (профиль)

Пример №10 из задания 12 (профильный уровень) ЕГЭ 11 класс


Найдите точку минимума функции `y=(4-5x)cosx+5sinx+17`, принадлежащую промежутку `(0; pi/2)`.
Источник:
ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №10) (Купить книгу)

Решение:

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции, применив следующие правила из таблицы производных `(cosx)'=-sinx`, `(sinx)'=cosx` и правило дифференцирования `(u*v)'=u'v+uv'`:

`y'=(4-5x)'*cosx+(4-5x)(cosx)'+5cosx=` `-5cosx-(4-5x)sinx+5cosx=` `-(4-5x)sinx`.

`-(4-5x)sinx=0`;

Выражение равно нулю, когда `-(4-5x)=0` или `sinx=0`.

`-(4-5x)=0`;

`x=0,8`.

`sinx=0`;

`x=pin, n in Z`.

Интервалу `(0; pi/2)` принадлежит только точка `x=0,8`. Получилась единственная точка экстремума (т.к. интервал открытый), где функция принимает наименьшее значение (точка минимума - точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс).

Исследуем знак производной при переходе через эту точку, чтобы убедиться что именно эта точка является точкой минимума. `pi/6 < 0,8 < pi/3`. При `x=pi/6` :

`y'=-(4+5*pi/6)*sin(pi/6) < 0`;

При `x=pi/3`:

`y'=-(4+5*pi/3)*sin(pi/3) > 0`.

Производная функции меняет свой знак с минуса на плюс, значит, `x=0,8` - точка минимума.

Ответ: `0,8`.
Категория: Примеры задания 12 (профиль) | Добавил: Администратор
Просмотров: 1455 | | Рейтинг: 5.0/1
Всего комментариев: 0
avatar